cosx 在零点处的泰勒展开式也就是麦克劳林展开，表达式是 1 减去 x 平方除以 2 的阶乘，加上 x 四次方除以 4 的阶乘，减去 x 六次方除以 6 的阶乘，一直按照正负交替规律延续，通项形式为求和从 n 等于 0 到无穷，负一的 n 次方乘以 x 的 2n 次方除以 2n 的阶乘，这个级数在全体实数域上都是收敛的，也就是 x 取任意实数这个展开式都成立，这是高数级数章节非常核心的基础公式，经常和 sinx 的泰勒展开配套记忆。cosx 属于偶函数，所以展开式里面只会出现 x 的偶次幂，没有奇次项，这个特征是记忆关键点，求近似值、极限计算、误差估计、微分方程近似求解都会用到这个展开式。很多同学容易和 sinx 展开弄混，sinx 全部是奇次幂，cosx 全部是偶次幂，符号同样是正负交替，阶乘和幂次保持对应，也就是 2n 次幂搭配 2n 的阶乘。泰勒展开本质是用多项式无限逼近原函数，展开项数越多，近似计算精度越高，同时可以搭配拉格朗日余项来估算近似计算产生的误差。

推导思路

第一步 回忆麦克劳林展开定义，也就是在 x 等于 0 点的泰勒展开，公式是 f (x) 等于 f (0) 加上一阶导数在 0 点的值乘以 x，加上二阶导数在 0 点的值乘以 x 平方除以 2 阶乘，一直累加。

第二步 依次求 cosx 的各阶导数，cosx 一阶导数是负 sinx，二阶导数是负 cosx，三阶导数是 sinx，四阶导数回到 cosx，导数每四次循环一次。

第三步 代入 x 等于 0 计算导数值，奇数阶导数在零点全部等于 0，所以奇次项系数全部为零，只剩下偶次项。

第四步 整理系数，写出通项，确定收敛区间是负无穷到正无穷。

展开式分项对照表

拓展要点清单

1 收敛域 全体实数，对任意 x 都收敛，没有发散区间

2 余项 常用拉格朗日余项，R2n (x) 等于 cos (x 加 θx) 乘以 x 的 2n 加 2 次方除以 2n 加 2 的阶乘，θ 取值在 0 到 1 之间

3 配套对比 sinx 泰勒展开是 x 减 x 三次方除以 3 阶乘加 x 五次方除以 5 阶乘，只有奇次幂

4 应用场景 求极限，近似计算三角函数值，级数求和，证明不等式

易错点整理

第一，不要把 cosx 泰勒展开式写成全部正号，符号是正负交替，第二项就是负号。

第二，不要混入奇次幂，因为 cosx 是偶函数，奇次项系数为零，不需要写出来。

第三，注意阶乘，x 的 2n 次方对应的分母是 2n 的阶乘，不是 n 的阶乘。

第四，区分普通泰勒展开和麦克劳林展开，这里默认是 x 等于 0 处，如果是其他点的泰勒展开，表达式会发生改变。

【常见问题】

问题 1 cosx 泰勒展开式为什么只有偶次幂

回答 1 cosx 泰勒展开式对应的函数是偶函数，求导之后奇数阶导数在零点取值全部是零，所以奇次项系数全部为零，最终展开式只保留偶次幂。

问题 2 cosx 泰勒展开式收敛范围是多少

回答 1 cosx 泰勒展开式也就是麦克劳林级数，收敛域是全体实数，x 取任意实数级数都收敛，不存在 x 取值限制。

问题 3 cosx 泰勒展开式怎么和 sinx 展开区分记忆

回答 1 cosx 泰勒展开式全部是偶次幂，sinx 泰勒展开全部是奇次幂，两者都是正负交替，阶乘和幂次对应，对照记忆就不容易混淆。

【免责申明】

本文内容依据高等数学级数章节教材整理，仅作学习参考，不同教材余项写法表述略有差异，正式考试请以课程考纲和任课教师要求为准。