核心结论 tanx 在 x 等于 0 处的麦克劳林展开也就是泰勒展开，前几项是 tanx 等于 x 加三分之一 x 的三次方加十五分之二 x 的五次方加三百一十五分之十七 x 的七次方加省略号，收敛区间是负二分之 π 到正二分之 π，tanx 的泰勒展开没有像 sinx cosx 那样简单通用通项公式，这是它最大特点，因为 tanx 是奇函数，所以展开式里面只存在奇次幂，没有偶次幂项，很多同学会尝试套用 sinx 除以 cosx 的泰勒级数做除法运算，这个是最常用的求解办法，也可以用定义法，反复求各阶导数再代入麦克劳林公式，但是高阶导数计算量非常大，大学高数考试一般只要求写出前四阶也就是到七次幂的结果，同时要理解收敛域为什么在正负二分之 π 之内，因为 tanx 在二分之 π 处存在无穷间断点，级数收敛半径会被这个奇点限制。

基础信息表格

方法一 麦克劳林定义法

麦克劳林通用公式 f (x) 等于 f (0) 加 f 一阶导数在 0 点的值除以 1 的阶乘乘 x，加 f 二阶导数在 0 点的值除以 2 的阶乘乘 x 平方，一直累加。

第一步 计算 f (0) tan0 等于 0

第二步 一阶导数 tanx 导数等于 sec²x，代入 x 等于 0，sec²0 等于 1

第三步 二阶导数继续求导，二阶导数在 0 点取值是 0，因为 tanx 是奇函数，偶数阶导数在原点都等于 0，所以 x 平方项系数是 0

第四步 继续求三阶导数，算出三阶导数在 0 点等于 2，除以 3 的阶乘，得到系数三分之一

第五步 继续求五阶导数七阶导数，依次算出对应系数，得到五次方项十五分之二，七次方项三百一十五分之十七

方法二 级数相除法 推荐方法

这个方法考试最常用，因为 tanx 等于 sinx 除以 cosx，我们已知 sinx 和 cosx 的泰勒展开

sinx 等于 x 减六分之一 x 三次方加一百二十分之一 x 五次方减省略号

cosx 等于 1 减二分之一 x 平方加二十四分之一 x 四次方减省略号

设 tanx 等于 a1x 加 a3x 三次方加 a5x 五次方加省略号

等式 tanx 乘 cosx 等于 sinx

把两个级数相乘，左右同次幂系数对应相等，列方程解出 a1 a3 a5 a7 这些系数，最终就可以得到 tanx 的泰勒展开，这个办法不需要反复求高阶导数，计算难度更低。

展开式对照清单

易错点说明

第一，不要误以为 tanx 有类似 sinx 那种简单通项，它完整通项需要伯努利数，本科高数一般不要求默写完整通项，只需要前几项。

第二，收敛区间容易写错，不是全体实数，收敛半径是二分之 π，因为最近奇点在正负二分之 π。

第三，级数相除的时候，cosx 是常数项为 1 的幂级数，做长除运算的时候，高次项截断只保留题目要求的幂次，多余高阶项可以舍弃。

第四，不要混淆 tanx 泰勒展开和 arctanx 泰勒展开，arctanx 通项非常简洁，很多同学会把两个展开式记混。

学习使用步骤

第一步，理解 tanx 是奇函数，预判展开式只含有奇次幂。

第二步，优先掌握级数相除法，利用 sinx 和 cosx 已知展开式做除法求解 tanx 的泰勒展开。

第三步，熟记前四项结果，也就是一次 三次 五次 七次项。

第四步，记住收敛区间，理解奇点对收敛半径的限制。

第五步，对比 arctanx 泰勒展开，区分两个容易混淆的级数。

总结 tanx 的泰勒展开，推荐使用 sinx 除以 cosx 级数相除的办法求解，展开只保留奇次幂，前几项为 x 加三分之一 x 三次方加十五分之二 x 五次方加三百一十五分之十七 x 七次方，收敛区间负二分之 π 到正二分之 π，没有简易通项，是高数级数章节高频考点。

【常见问题】

问题 1 tanx 的泰勒展开式怎么求，为什么没有偶次项

回答 1 tanx 的泰勒展开式怎么求，tanx 属于奇函数，奇函数在原点麦克劳林展开只有奇次幂，所以 tanx 的泰勒展开式不存在偶次幂项。

问题 2 tanx 的泰勒展开式怎么求，推荐哪种计算方法

回答 1 tanx 的泰勒展开式怎么求，推荐级数相除法，把 tanx 写成 sinx 除以 cosx，利用 sinx 和 cosx 已知泰勒级数做除法求解 tanx 的泰勒展开式。

问题 3 tanx 的泰勒展开式怎么求，收敛区间是多少

回答 1 tanx 的泰勒展开式怎么求，tanx 的泰勒展开收敛区间是负二分之 π 到正二分之 π，受 tanx 在二分之 π 奇点限制。

问题 4 tanx 的泰勒展开式怎么求，和 arctanx 展开是不是一样

回答 1 tanx 的泰勒展开式怎么求，tanx 的泰勒展开和 arctanx 泰勒展开不一样，arctanx 通项形式简单，tanx 的泰勒展开没有简易通项，不要混淆。

【免责申明】

本文为高等数学泰勒展开知识点科普，内容为 x 等于 0 处麦克劳林展开，若题目指定其他展开中心点，tanx 的泰勒展开式怎么求的计算形式会发生改变，答题请严格按照教材与考试大纲要求书写。